Teoria de Monomios

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.      2x² y³ z

Partes de un monomio
Coeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El coeficiente de 2x² y³ z es 2,           La parte literal  de 2x² y³ z es  x² y³ z

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x² y³ z es semejante a 5x² y³ z

Operaciones con monomios

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ                               2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.          2x² y³ + 3x² y³ z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.        5 · 2x² y³ z = 10x² y³ z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.          axⁿ · bx^m = (a · b)bx^{n +m}                    5x² y³ z · 2 y² z² = 10 x² y⁵ z³

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

axⁿ : bx^m = (a : b)bx^{n − m}

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

(axⁿ)^m = a^m · bx^{n · m}                     (2x³)³ = 2³(x³)³ = 8x⁸               (-3x²)³ = (-3)³ (x³)² = −27x⁶

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a₁ x¹ + a₀

Siendo a_n, a_{n -1} ... a₁ , a_o números, llamados coeficientes.

n un número natural.             x la variable o indeterminada.

a_n es el coeficiente principal.             a_o es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado                         P(x) = 3x + 2

Segundo grado                       P(x) = 2x²+ 3x + 2

Tercer grado                         P(x) = x³ - 2x²+ 3x + 2

Polinomio completo: Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x³ + 3x² + 5x - 3

Polinomio ordenado:Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.P(x) = 2x³ + 5x - 3

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x - 3 ; x = 1      P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x - 3         Q(x) = 4x - 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x - 3) + (2x³ -3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ - 3 x² + 5x + 4x - 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³- 3x² + 9x - 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3 = 3x² + x - 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.  3 · ( 2x³ - 3 x² + 4x - 2) = 6x³ - 9x² + 12x - 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.   3 x² · (2x³ - 3x² + 4x - 2) = 6x⁵ - 9x⁴ + 12x³ - 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² - 3    Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² - 3) · (2x³ - 3x² + 4x) =4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejemplo: Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:

P(x) = 3x⁴ + 5x³ -2x + 3 y Q(x) = 2x² - x +3

P(x) · Q(x) = (3x⁴ + 5x³ -2x + 3) · (2x² - x +3) = 6x⁶ - 3x⁵ + 9x⁴ + 10x⁵ - 5x⁴ + 15x³ -

- 4x³ + 2x² - 6x + 6x² - 3x + 9 = 6x⁶ + 7x⁵ + 4x⁴ + 11x³ + 8x² - 9x + 9

 

 

Indice Primer Bimetsre

Índice Primer bimestre

1) Números con Signo explicación
     1.1 Ejercicio con Números con Signo

Respuestas de Ejercicios de Monomios

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

Soluciones:

1) 3x³     Si es un Monomio,  Grado: 3, coeficiente: 3

2) 3x + 1 No es un monomio, porque aparece una suma.

3)  Si Es un Monomio,  Grado 1, Coeficiente

4)  Si es un Monomio Grado: 4, coeficiente:

 

Realiza las sumas y restas de monomios.

Soluciones:

12x²y³z + 3x²y³z = 5x²y³z
22x³ − 5x³ = −3x³
33x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ = 8x⁴
42a²bc³ − 5a²bc³ + 3a²bc³ − 2a²bc³ = −2a²bc³

Efectúa los productos de monomios

Soluciones:

1) (2x³) · (5x³) = 10x⁶
2) (12x³) · (4x) = 48x⁴
3) 5 · (2x² y³z) = 10x²y³z
4) (5x²y³z) · (2 y²z²) = 10x²y⁵z³
5) (18x³y²z⁵) · (6x³yz²) = 108x⁶y³z⁷
6) (−2x³) · (−5x) · (−3x²) = −30x⁶

Realiza las divisiones de monomios

Soluciones:

1) (12x³) : (4x) = 3x²
2) (18x⁶y²z⁵) : (6x³yz² ) = 3x³yz³
3) (36x³y⁷z⁴) : (12x²y²) = 3xy⁵z⁴
4)
5) 4x³y + 3x²y² − 8x⁸
6)

 

Ejercicios con Monomios

1) Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

1) 3x³

2) 3x + 1

3)
4)
 

2) Realiza las sumas y restas de monomios.

1) 2x²y³z + 3x²y³z =

2) 2x³ − 5x³ =

3)3x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ =

4) 2a²bc³ − 5a²bc³ + 3a²bc³ − 2 a²bc³ =

3) Efectúa los productos de monomios.

1) (2x³) · (5x³) =

2) (12x³) · (4x) =

3) 5 · (2x²y³z) =

4) (5x²y³z) · (2y²z²) =

5) (18x³y²z⁵) · (6x³yz²) =

6) (−2x³) · (−5x) · (−3x²) =

4) Realiza las divisiones de monomios.

1) (12x³) : (4x) =

2) (18x⁶y²z⁵) : (6x³yz²) =

3) (36x³y⁷z⁴) : (12x²y²) =

4)

5)

6)

             

 

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Video 3

 

Teoria ques moda, media y mediana?

Que es moda, media y mediana?

Media aritmética

Este estadístico es muy importante. Puede adoptar el nombre de promedio. Se calcula sumando todos los datos individuales y dividiéndolo por el número de datos de la muestra.

Ej. X = {1,5,12,9,6,5,10}

Media = (1+5+12+9+6+5+10) / 6 = 48 / 6 = 8

Mediana

La consideraremos el valor central de una distribución de frecuencias. De esta forma la mediana nos divide la distribución en dos mitades.

Ej. X = {1,5,12,9,6,5,10}

Mediana = 9

Moda

Es el valor de la variable que tiene máxima frecuencia. No tiene por qué ser única.

Ej. X = {1,5,12,9,6,5,10}

Moda = 5

Teoria de Probabilidad (eventos aleatorios)

Eventos aleatorios

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos:

1.    Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

2.    Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos:

1.    Al lanzar una moneda salga cara.

2.    Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Ejemplos:

1.    Espacio muestral de una moneda:

           E = {C, X}.

2.    Espacio muestral de un dado:

           E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio maestral.

Ejemplos:

Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Eventos aleatorios

Ejemplo1

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestra cuando:

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

2 La primera bola no se devuelve.

Ejemplo 2

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de:

1 Sea roja.

2 Sea verde.

3 Sea amarilla.

4 No sea roja.

5 No sea amarilla.

Ejemplo 3

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestra y hallar la probabilidad de los sucesos:

1 Con reemplazamiento.

2 Sin reemplazamiento.

Video

 

Video Animado


Video de urnas y bolas Caja y pelotas de colores