Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
variables son el producto
y la potencia de exponente natural. 2x2 y3 z
Partes de un monomioCoeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El coeficiente de 2x2 y3 z es 2,
La parte literal de 2x2 y3 z es x2 y3 z
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 +
1 = 6
Monomios semejantes
Dos
monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2
y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Operaciones con monomios
Suma de monomios
Sólo podemos sumar
monomios semejantes.
La suma de
los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)bxn 2x2 y3 z + 3x2
y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes
se obtiene un polinomio. 2x2
y3 + 3x2 y3 z
Producto de un número por un monomio
El producto
de un número por un monomio es otro monomio semejante
cuyo coeficiente es el producto del coeficiente
de monomio por el número. 5
· 2x2 y3 z = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando
las potencias que tenga la misma base. axn
· bxm = (a · b)bxn +m 5x2 y3 z
· 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
División de monomios
Sólo se pueden dividir
monomios con la misma parte literal y con el grado
del dividendo mayor o igual que el grado
de la variable correspondiente del divisor.
La división
de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)bxn − m
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia
de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la
potencia.
(axn)m = am · bxn
· m (2x3)3
= 23(x3)3 = 8x8 (-3x2)3 =
(-3)3 (x3)2 = −27x6
Polinomios
Un polinomio
es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an
xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn
- 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an,
an -1 ... a1 , ao números, llamados
coeficientes.
n un
número natural. x la variable
o indeterminada.
an
es el coeficiente principal. ao
es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado
de un polinomio P(x) es el mayor exponente al
que se encuentra elevada la variable x.
Clasificación
de un polinomio según su grado
Primer grado P(x) = 3x + 2
Segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2
Tercer grado P(x) = x3 - 2x2+ 3x +
2
Polinomio completo: Es aquel polinomio
que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de
mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x -
3
Polinomio ordenado:Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.P(x) = 2x3 + 5x - 3
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado
que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 +
5 - 3 = 4
Operaciones con
polinomios
Suma de polinomios
Para sumar
dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3
+ 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2
+ 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3
- 3x2 + 4x
P(x) + Q(x)
= (2x3 + 5x - 3) + (2x3 -3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x)
= 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x)
= 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta
de polinomios consiste
en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x -
3) − (2x3 - 3x2 + 4x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3
+ 3x2 − 4x = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x−
4x - 3 = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un
polinomio
Es otro polinomio que
tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por
el número.
3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2
+ 12x - 6
Multiplicación
de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios
que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 - 3x2
+ 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación
de polinomios
P(x) = 2x2
- 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se
multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) ·
Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =4x5
− 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x
Se suman
los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 −
12x
También podemos multiplicar
polinomios de siguiente modo:
Ejemplo: Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 -2x
+ 3 y Q(x) = 2x2 - x +3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3
-2x + 3) · (2x2 - x +3) = 6x6 - 3x5 + 9x4
+ 10x5 - 5x4 + 15x3 -
- 4x3 + 2x2 - 6x +
6x2 - 3x + 9 = 6x6 + 7x5 + 4x4 +
11x3 + 8x2 - 9x + 9
